viernes, 21 de noviembre de 2008

TALLER NUMERO 3

TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL

1. La lógica proposicional tiene varios componentes. En el punto siguiente debe definir la veracidad de las propuestas.

1.1 La lógica proposicional se fundamenta en el estudio de los enunciados de las proposiciones para evaluar su grado o valor de verdad? ( Verdadero )

1.2 En términos de la lógica proposicional, premisa significa termino anterior? ( Falso )

Puede ser el antecedente, el consecuente o toda la proposicion.

1.3 Una proposición se puede definir como un enunciado que al evaluarse se puede obtener uno de dos valores?. Porque? Cuales? (Verdadero)

Al evaluarse se puede obtener falso (0) o verdadero (1), de acuerdo a los valores que le
asignemos y a los conectores logicos que contenga.

1.4 En lógica proposicional se puede decir que hay proposiciones simples o Atómicas y compuestas o Moleculares ?. (Verdadero)

1.5 La Lógica de programación ayuda a estructurar la forma de pensar en soluciones a problemas complejos y que pueden ser resueltos solo por el ser humano por su capacidad de raciocinio. Este es un ejemplo de proposición Atómica? (Falso)

De la proposicion puedo definir dos proposiciones simples unidas por Y :

P: La logica de programación ayuda a estructurar la forma de pensar en soluciones a problemas complejos

Q: Los problemas complejos pueden ser resueltos solo por el ser humano por su capacidad de raciocinio.

1.6 La lógica se puede definir como la capacidad que tenemos los seres humanos de actuar adecuadamente ante cualquier situación problema, aplicando en ello el conocimiento o experiencia acumulada? Si tiene otro concepto expóngalo. (verdadero)

1.7 Las proposiciones se pueden escribir en español o se pueden simbolizar, esto significa que se debe asignar identificadores o variables proposicionales a cada proposición o enunciado? (verdadero)

1.8 Cuando se dice asignar identificadores a una proposición solo se puede utiliza las letras p, q, r? (Falso)

1.9 Los símbolos utilizados para la conformación de proposiciones compuestas se llaman operadores lógicos? (Falso) se denominan variables.

1.10 Los términos de enlace dentro de una proposición aparecen al final? Porque? Cuales son? (Falso) Los enlaces aparecen en medio de dos proposiciones, son Y, O, entonces, si solo si.

1.11 Una proposición Molecular puede contener varias proposiciones atómicas? (verdadero)

1.12 Las premisas corresponden a los enunciados o proposiciones? (Verdadero)

1.13 Una proposición es un enunciado lógicamente verdadero? (falso)

1.14 A partir de las premisas o enunciados lógicos se puede llegar a otros problemas?
(verdadero)

1.15 Una proposición Molecular puede contener varias proposiciones moleculares?
(verdadero)

1.16 Una proposición Molecular puede contener varias proposiciones atómicas unidas por medio de términos de enlaces? (verdadero)

1.17 Los enlaces que se puede utilizar en una proposición son conocidos como conectores lógicos? Porque? Cuales son? (verdadero)

1.18 Los paréntesis sirven para indicar la jerarquía en una proposición? (verdadero)

1.19 Que importancia tiene determinar el término dominante en una proposición?
Para saber que regla debo aplicar a la proposicion y formar una idea de cómo lo voy a realizar.

1.20 La aplicación de las tablas de verdad se basa en la veracidad o falsedad para cada una de las posibles combinaciones de valores que pueden tener las variables en un enunciado o proposición? ( verdadero )

1.21 Todas las proposiciones son susceptibles para aplicar en tablas de verdad y hallar su conclusión? (verdadero)

1.22 Las conclusiones que se puede hallar por medio de las tablas de verdad son: Tautología, Contradicción, Contingencia? Porque? (verdadero)

Al evaluar la proposición con todos los valores posibles, puede resultar solo valores verdaderos (tautología), solo falsos (contradicción) o verdaderos y falsos (contingencia).






2. Evalúe las siguientes proposiciones y elija el resultado que crea correcto.

2.1 No Se sabe si el panorama político propicie el mejoramiento de la situación económica del país.
a. Es una proposición compuesta porque tiene el termino de enlace si.
b. Es una proposición simple
c. Ninguna de las anteriores

2.2 La tecnología llego hasta la música con el MP3 como uno de los formatos más populares y no solo a la información como se pensaba en los inicios de la informática.
a. Es una premisa compuesta por tres proposiciones simples.
b. Esta compuesta por un termino de enlace o y dos proposiciones simples.
c. Es una premisa compuesta por dos proposiciones simples y un termino de enlace y.
d. Otra _________________________________

2.3 La educación tiene la tendencia de ir hacia la virtualidad y se aplica los avances tecnológicos en informática entonces Se acabaran las clases magistrales, presénciales.
a. Son dos premisas cuya conclusión es Se acabaran las clases magistrales, presénciales.
b. Tres proposiciones simples cuya conclusión es Se acabaran las clases magistrales, presénciales.
c. Una proposición compuesta que contiene varios términos de enlace.
d. Una proposición condicional.

2.4 Siempre que establezco enunciados lógicos :
a. Llego a conclusiones lógicamente verdaderas.
b. No llego a conclusiones lógicamente verdaderas.
c. Obtengo falacias.
d. Otra __________________

2.5 Simbolizando las proposiciones del ítem 2.3
X = La educación tiene la tendencia de ir hacia la virtualidad
T = se aplica los avances tecnológicos en informática.
C = Se acabaran las clases magistrales.
a. X ^ T → C
b. X ^ (T → C)
c. (X ^ T) → C
d. Otra __________________


3. Desarrolle los siguientes ejercicios, de acuerdo a lo que se pida

3.1 Los sistemas operativos evolucionan aceleradamente entonces también lo tienen que hacer los lenguajes de programación y de igual manera sucede con el hardware.


a. Descomponga en las proposiciones simples

P: Los sistemas operativos evolucionan aceleradamente.
Q: Los lenguajes de programación evolucionan aceleradamente.
R: El hardware evoluciona aceleradamente.

b. simbolice cada una de las proposiciones, y escriba la representación de la proposición completa.

P: Los sistemas operativos evolucionan aceleradamente.
Q: Los lenguajes de programación evolucionan aceleradamente.
R: El hardware evoluciona aceleradamente.

P → Q ^ R

c. Cual es la conclusión

Si los sistemas operativos evolucionan aceleradamente también debe hacerlo los lenguajes de programación y el hardware.

3.2 Construya proposiciones compuestas con las siguientes proposiciones:

A: La tecnología en computación basa su evolución en el descubrimiento del chip.

B: La tendencia de la tecnología apunta hacia la miniaturización de los componentes de hardware.

C: El procesador Intel Pentium Centrino, fue diseñado para equipos portátiles, con una tecnología que consume menos energía.

D: El futuro de los celulares apunta cada vez mas a ser equipos multifuncionales, que permiten realizar tareas de una palm, enlace a internet y telefonía y lo mejor a muy bajos costos.

1. El futuro de los celulares apunta cada vez mas a ser equipos multifuncionales, que permiten realizar tareas de una palm, enlace a internet y telefonía y lo mejor a muy bajos costos y El procesador Intel Pentium Centrino, fue diseñado para equipos portátiles, con una tecnología que consume menos energía. entonces La tendencia de la tecnología apunta hacia la miniaturización de los componentes de hardware.

2. La tecnología en computación basa su evolución en el descubrimiento del chip y
La tendencia de la tecnología apunta hacia la miniaturización de los componentes de
hardware.



3.3 Simbolice todas las proposiciones escritas en el punto anterior.

1. D ^ C → B
2. A ^ B

3.4 Elabore proposiciones de todo tipo (atómicas y moleculares) y utilizando todos los términos de enlace revisados en el tema lógica proposicional. Los temas base para las proposiciones son.
a. Los video juegos y sus aplicaciones en el rol diario de las personas, ventajas y desventajas de su utilización.
b. Aportes y aplicaciones de la tecnología informática en la ciencia y la investigación.

- Hoy dia hay video juegos para consolas y también para computadores.

- como la tecnología evoluciona en todas las áreas entonces también lo hace los video juegos para pc y para las consolas.

- Uno de los pasatiempos favoritos de los niños son los video juegos y los en usan computadores o en consolas.

- la tecnología informática evoluciona constantemente de esta manera aporta herramientas a la ciencia y la investigación.

- Si la tecnología informatica hace aportes a la ciencia o a la investigación entonces contribuye de buena manera en el desarrollo de la sociedad.

4. Tablas de Verdad.

Utilice 1 para Verdadero y 0 para Falso.

4.1 Elabore las tablas de verdad para Conjunción, Disyunción, Negación.

CONJUNCION DISYUNCION NEGACION
p
q
p ^ q

p
q
p v q

p
q
~p
~q
1
1
1

1
1
1

1
1
0
0
1
0
0

1
0
1

1
0
0
1
0
1
0

0
1
1

0
1
1
0
0
0
0

0
0
0

0
0
1
1

4.2 Elabore las tablas de verdad para condicional y bicondicional.

CONDICIONAL

BICONDICIONAL
p
q
p →q

p
q
p ↔ q
1
1
1

1
1
1
1
0
0

1
0
0
0
1
1

0
1
0
0
0
1

0
0
1


4.3 Que diferencia puede establecer entre 4.1 y 4.2. Identifique la lógica de cada una de ellas.

La negación siempre será el valor contrario, si es “1” será “0” y si es “0” será “1”.

En la conjunción da verdadero solo si ambos valores son verdaderos de lo contrario será falso, dicho de otra forma es suficiente que haya un “0” para que el resultado sea “0”.

En la una disyuncion el resultado sera falso si ambos son falsos si no es verdadero, es decir basta con que haya un “1” para que el resultado sea “1”.

Al evaluar un condicional sera falso cuando el primer termino es verdadero y el segundo es falso, en cualquier otro caso sera verdadero.

Un bicondicional sera verdadero si ambos terminos verdaderos o si ambos terminos son falsos de lo contrario sera falso. O sea valores iguales sera “1” y valores diferentes dara “0”.

4.4 Demuestre la siguiente equivalencia: z → k ≡ ~ z v k

z
k
~z
z →k
~z v k
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1

4.5 Elabore la tabla de Verdad para la proposición. K ^ ~(K V F).

k
f
k v f
~ ( k v f )
k ^ ~( k v f )
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0


4.6 Demuestre si la tabla de verdad resultante para las siguientes proposiciones es igual.
~ (a ^d) ≡ ∼a v ~d

a
d
~a
~d
(a^d)
~(a^d)
~a v ~d
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1


4.7 Determine las tablas de verdad para: a) (c → n) → ( c ^ n) b) (c → n) v ~ ( c ↔ ~ n)

c
n
c→n
c^n
(c→n)→(c^n)
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0

c
n
~n
c→n
c↔~n
~(c↔~n)
(c→n) v ~(c↔~n)
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1


4.8 Construya la tabla de verdad para : [(m → b) ^b] → (~m ^b)

m
b
~m
m→b
(m→b)^b
~m^b
[(m→b)^b]→(~m^b)
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1

4.9 Simbolice y elabore la tabla de verdad para las proposiciones del ítem 3.4.

- Hoy dia hay video juegos para consolas y también para computadores.
P: Hoy dia hay video juegos para consolas
Q: Hoy dia hay video juegos para computadores.
P ^ Q
p
q
p ^q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

- como la tecnología evoluciona en todas las áreas entonces también lo hace los video juegos para pc y para las consolas.
P: la tecnología evoluciona en todas las areas
Q: Los videojuegos para pc evolucionan
R: Los videojuegos para consola evolucionan







P → Q^R

P
Q
R
Q^R
P→(Q^R)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1


4.10 Demuestre por medio de tablas de verdad una tautología, contradicción y contingencia. Explique en que consiste cada una de ellas.

Tautologia es cuando al evaluar una proposicion en una tabla de verdad obtenemos solo resultados verdaderos, contradicción cuendo obtenemos solo valores falsos y contingencia cuando obtenemos falsos y verdaderos:



Tautologia: (p →q) v p

p
q
p →q
(p →q) v p
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1


Contradicción: (p ^q)^~P

p
q
~P
p ^q
(p ^q)^~P
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0









Contingencia: P→(Q^R)

P
Q
R
Q^R
P→(Q^R)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1



5. Evalué las siguientes expresiones e indique el resultado en términos de 1 (Verdadero) o 0 (Falso).

R=25.5, Z=37, F= -4, W= -2

a. ((R * W) > Z ) o ((F ^ 2) > R)

( ( 25.5 * -2 ) > 37) v ( ( -4 ^ 2 ) > 25.5 )
( -51 > 37 ) v (( -4 ^ 2 ) > 25.5 )
( -51 > 37 ) v ( (-4 > 25.5 ) ^ ( 2 > 25.5 ) )
0 v ( 0 ^ 0 )
0 v 0
0

El resultado es 0 ( falso )

b. (R > (W * W)) y ((F ^ 3) > Z)

( 25.5 > ( -2 * -2 ) ) ^ ( ( -4 ^ 3 ) > 37 )
( 25.5 > 4 ) ^ ( ( -4 > 37 ) ^ ( 3 > 37) )
1 ^ ( 0 ^ 0 )
1 ^ 0
0

El resultado es 0 ( falso )

c. ((R > (Z *-1)) o (F <> F)

( ( 25.5 > ( 37 * -1 ) ) v ( -4 < -2 ) ) ^ ( -2 > -4 )
( ( 25.5 > -37 ) v ( -4 < -2 ) ) ^ ( -2 > -4 )
( 1 v 1 ) ^ 1
1 ^ 1
1
El resultado es 1 ( verdadero ).

d. (Z > R) y ((F ^ 2) > 0) y ((W *-1) < 0)

( 37 > 25.5) ^ (( -4 ^ 2 ) > 0) ^ ( ( -2 * -1 ) < 0 )
( 37 > 25.5) ^ ( (-4 >0) ^ ( 2 > 0) ) ^ ( 2 < 0)
( 1 ^ ( 0 ^ 1 ) ) ^ 0
( 1 ^ 0 ) ^ 0
0 ^ 0
0
El resultado es 0 ( falso )


e. (R > (F ^ 4)) o (((R * 2) > Z) y (F > (W * -2)))
( 25.5 > ( -4 ^ 4 ) ) v ( ( ( 25.5 * 2 ) > -2 ) ^ ( -4 > (-2 * -2 )))
( 25.5 > ( -4 ^ 4 ) ) v ( ( 51 > -2 ) ^ ( -4 > 4 ))
1 v ( 1 ^ 0 )
1 v 0
1
El resultado es 1 ( verdadero ).



TEMA: INFERENCIA LOGICA

1.1 Aplicando el Modus ponendo ponens obtenga la conclusión para los siguientes ejercicios:



a. L ^ W → Z

P1 L ^ W→ Z
P2 L ^ W
-----------------------------------
P3 Z PP (1,2) Si se afirma el antecedente, puedo afirmar el consecuente.

b. X → W ^ Z

P1 X → W ^ Z
P2 X
-----------------------------------
P3 W ^ Z PP(1,2) Si se afirma el antecedente, puedo afirmar el consecuente.




c. M v N → A

P1 M v N → A
P2 M v N
---------------------------------
P3 A PP(1,2)

d. L → A ^ F

P1 L → A ^ F
P2 L
---------------------------------
P3 A ^ F PP ( 1,2 )

1.2 Para las proposiciones del ítem 1.1 escriba proposiciones en castellano y confronte la conclusión

a. L ^ W → Z

P1 Si Pedro es ingeniero y Leonardo es Doctor Entonces son profesionales
P2 Pedro es ingeniero y Leonardo es Doctor
----------------------------------------------------------------------------------------------
P3 son profesionales PP(1,2)

b. X → W ^ Z

P1 Si el computador funciona entonces tiene disco duro y procesador
P2 El computador funciona
-----------------------------------------------------------------------------------
P3 Tiene disco duro y tiene procesador PP(1,2)



c. M v N → A

P1 Si tengo telefono fijo o tengo celular entonces puedo llamar.
P2 Tengo telefono fijo o tengo celular
---------------------------------------------------------
P3 puedo llamar. PP(1,2)

d. L → A ^ F

P1 si hago tinto entonces tengo azúcar y café
P2 Hago tinto
------------------------------------------------
P3 tengo azúcar y tengo café PP(1,2)


1.3 Empleando el Modus ponendo ponens analice cual es la conclusión e indíquela en PP (modus ponendo ponens), enumere cada premisa, indicando la abreviatura de la regla aplicada y los números de líneas de las que se deduce.

a. ~ B → ~ D ^ S b. ~R c. X
~ B ~R → E ^ C X → ~T v G


a. P1 ~B → ~D ^ S c. P1 X
P2 ~B P2 X → ~T v G
------------------------ -------------------------
P3 ~D ^ S PP(1,2) P3 ~T v G PP(1,2)

b. P1 ~R
P2 ~R → E ^ C
----------------------------
P3 E ^ C PP(1,2)


1.4 Demostré las siguientes conclusiones agregando las líneas que sean necesarias:

a. Demuestre : ~T b. Demuestre: M v N c. Demuestre: ~S d. Demostrar: G
P1 R → ~T P1 ~J → M v N P1 T P1 ~H → ~J
P2 S → R P2 F v G → ~J P2 T → ~ E P2 ~H
P3 S P3 F v G P3 ~E → ∼S P3 ~J → G

a. Demuestre : ~T
P1 R → ~ T
P2 S → R
P3 S
-------------------------------
P4 R PP(2,3)
P5 ~T PP (1,4)

b. Demuestre: M v N
P1 ~J → M v N
P2 F v G → ~J
P3 F v G
------------------------------------
P4 ~J PP(2,3)
P5 MvN PP(1,4)





c. Demuestre: ~S
P1 T
P2 T → ~E
P3 ~E → ~S
----------------------------------
P4 ~E PP(1,2)
P5 ~S PP(3,4)

d. Demostrar: G
P1 ~H → ~J
P2 ~H
P3 ~J → G
---------------------------------
P4 ~J PP(1,2)
P5 G PP(3,4)

1.5 Simbolice las siguientes proposiciones, haga la demostración y denote la conclusión obtenida.
a. x + 1 = 2 b. Si x > c y c > z entonces x > z
Si x + 1 = 2 entonces y + 1 = 2 x > c y c > z
Si y + 1 = 2 entonces x = y Si x > z entonces x > 10

P1 P P1 P ^ Q → R
P2 P → Q P2 P ^ Q
P3 Q→ R P3 R → S
-------------------------- -------------------------------
P4 Q PP(1,2) P4 R PP(1,2)
P5 R PP(3,4) P5 S PP(3,4)

2.1 Haga la demostración completa, numerando cada premisa, indicando la abreviatura de la regla aplicada y los números de líneas premisas de las que se deduce.

a. Demuestre: ~~M b. Demuestre: U v Y c. Demuestre: G d. Demostrar: B
P1 F → M P1 T → ~~(U v Y) P1 R → (L ^ D) P1 ~A
P2 F P2 T P2 R P2 ~A → ~~B
P3 (L ^ D) → ~~G

a. Demuestre ~~M b. Demuestre Uv Y
P1 F → M P1 T → ~~(U v Y)
P2 F P2 T
---------------------------- --------------------------------------
P3 M PP(1,2) P3 ~~(U v Y) PP(1,2)
P4 ~~M DN (3) P4 U v Y DN(3)


c. Demuestre: G d. Demostrar: B
P1 R → (L ^ D) P1 ~A
P2 R P2 ~A → ~~B
P3 (L ^ D) → ~~G --------------------------------------
--------------------------------- P3 ~~B PP(1,2)
P4 (L ^ D) PP(1,2) P4 B DN(3)
P5 ~~G PP(3,4)
P6 G DN(5)


2.2 Explique en que consiste o como se define la doble negación.

La doble negacion es una regla de inferencia que consiste en que si tengo una premisa igual a A puedo concluir su doble negacion o sea ~~A, asi:

P1 A P1 ~~A
---------- -------------
P2 ~~A DN 1 P2 A DN 1

P1 Tengo un carro rojo
-----------------------------
P2 no es cierto que no tengo carro rojo

P1 No es cierto que no hace calor
--------------------------------------------
P2 Hace calor



3.1 Escriba la conclusión en castellano deducida para las premisas siguientes aplicando la regla TT

a. Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz mas brillante daría lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los originados por luz mas tenue. La luz mas brillante no siempre emite electrones con mayor energía que los originados por luz mas tenue.

Como conclusión se determina que “ la luz no es un simple movimiento ondulatorio continuo”. debido a que el enunciado en la parte final niega la premisa consecuente de la primera parte, asi podemos negar la premisa antecedente de cuerdo con la regla tollendo tollens.

b. Si un ángulo de un triangulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90 grados. La suma de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados.

Conclusión: Un angulo de un triangulo no es mayor de 90 grados.



c. Si continúa la actividad del volcán galeras, entonces habrá emisión de lava. No habrá emisión de lava.

Conclusión: No continua la actividad del volcan galeras.

3.2 Indique la conclusión para las siguientes premisas aplicando TT. Escriba la demostración completa.

a. O → J

P1 O → J
P2 ~J
----------------------------------
P3 ~O TT(1,2)

b. (B ^ F) → Z

P1 (B ^ F) → Z
P2 ~Z
---------------------------------
P3 ~(B ^ F ) TT(1,2)

c. R → ~K

P1 R → ~K
P2 K
---------------------------------
P3 ~ R TT(1,2)

d. ~A → B

P1 ~A → B
P2 ~B
---------------------------
P3 A TT(1,2)


3.3 Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicar la demostración completa.

a. Demostrar: C b. Demostrar F: c. Demostrar: R ^ S
P1 ~B P1 G → H P1 P → ~ Q
P2 A → B P2 ~G → ~~F P2 Q
P3 ~A → C P3 ~H P3 ~P → (R ^ S)
--------------------------- ----------------------------- -----------------------------
P4 ~A TT(1,2) P4 ~G TT(1,3) P4 ~P TT(1,2)
P5 C PP(1,2) P5 ~~F PP(2,4) P5 R ^ S PP(1,2)
P6 F DN(5)

4.1 Deducir la conclusión aplicando el modus tollendo ponens para las siguientes premisas. Escriba el proceso completo e indique la conclusión en TT, indique los números de línea
a. P1 ~Q v R b. P1 T v (K → Z) c. P1 ~M v ~D

a. P1 ~Q v R b. P1 T v (K → Z) c. P1 ~M v ~D
P2 ~ R P2 ~T P2 ~~D
-------------------- -------------------------- ----------------------------
P3 ~Q TP(1,2) P3 K→Z TP(1,2) P3 ~M TP(1,2)

4.2 Demuestre la conclusión como consecuencia lógica de las premisas. Escriba la demostración completa.

a. Demuestre: P b. Demuestre: A ^ B c. Demuestre: H
P1 P v Q P1 B P1 ~S
P2 ~T P2 B → ~D P2 S v (H v G)
P3 Q → T P3 A v D P3 ~G
--------------------------- --------------------------- --------------------------
P4 ~Q TT(2,3) P4 ~D PP(1,2) P4 H v G TP(1,2)
P5 P TP(1,4) P5 A TP(3,4) P5 H TP(3,4)
P6 A ^ B A (1,5)

5. Indique ejemplos para las reglas de inferencia:

5.1 Describa la regla de la Adjunción (se designa por A)
K Pedro es ingeniero Premisa 1 Verdadera
T Leonardo es profesor Premisa 2 Verdadera
______________
K ^ T Conclusión Pedro es ingeniero y Leonardo es profesor o
T ^ K Conclusión Leonardo es profesor y pedro es ingeniero

Si tengo una premisa K verdadera y una premisa T verdadera puedo concluir KyT.

5.2 Describa la regla de la Simplificación (Se designa por S)

K ^ T De la premisa Pedro es ingeniero y Leonardo es profesor
______________
K Se puede concluir Pedro es ingeniero
T o concluir Leonardo es profesor

de acuerdo a la ley de simplificación para la conjuncion si tengo A ^ B, puedo concluir A o puedo concluir B
5.3 Ley de la adición Regla valida o aplicable a la disyunción.

Si tengo una premisa P, puedo concluir P v Q.
Ej. P Voy caminando.
p v q voy caminando o voy corriendo.




5.4 Ley del silogismo hipotético

P→Q si el motor gira entonces gira la trasmisión
Q→R si la trasmision gira entonces se mueve la rueda
-----------------
P→R Puedo concluir que si el motor gira entonces se mueve la rueda.

5.5 Ley del silogismo disyuntivo

A → B Si hay electricidad entonces el bombillo prende
C → D Si hay gas entonces la estufa prende
A v C Hay electricidad o hay gas
--------------------
B v D Puedo concluir El bombillo prende o la estufa prende

5.6 Ley de Morgan

si tengo la conjuncion P ^ Q, la puedo convertir en disyuncion de la siguiente forma:
P ^ Q = ~(~P v ~Q )

si tengo la disyuncion P v Q la puedo convertir en conjuncion de la siguiente forma:
P v Q = ~(~P ^ ~Q )


5.7 Ley Conmutativa : Para la conjuncion y para la disyuncion si tengo P ^ Q, puedo concluir Q ^ P, si tengo P v Q puedo concluir Q v P.

6.1 En la solución de los siguientes ejercicios para cada uno de los pasos debe indicar que regla de inferencia lógica aplica en la demostración.

a. Demostrar B ^ D b. Demostrar: ~S ^ Q c. Demostrar: A ^ B d. Demostrar: R
B ^ C ~S → Q B ~Q v S
B → D ~(T ^ R) B → ~D ~S
S → T ^ R A v D ~(R ^ S) → Q

a. Demostrar B ^ D b. Demostrar: ~S ^ Q

P1 B ^ C P1 ~S → Q
P2 B → D P2 ~(T ^ R)
--------------------------------- P3 S→ T ^ R
P3 B S (1) ----------------------------------------
P4 D PP(2,3) P4 ~S TT(2,3)
P5 B ^ D A(3,4) P5 Q PP(1,4)
P6 ~S ^ Q A (5,6)



c. Demostrar: A ^ B d. Demostrar: R

P1 B P1 ~Q v S
P2 B → ~D P2 ~S
P3 A v D P3 ~(R ^ S) → Q
------------------------------------ ----------------------------------------------
P4 ~D PP (1,2) P4 ~Q TP(1,2)
P5 A TP (3,4) P5 R ^ S TT(3,4)
P6 A ^ B A(1,5) P6 R S(5)



e. Demostrar: T f. Demostrar: S ^ T g. Demostrar:T v Q
P → S P ^ R S → P ^ Q
~S P → S S
~P → T R → T P ^ Q → T

e. Demostrar: T f. Demostrar: S ^ T g. Demostrar:T v Q
P1 P → S P1 P ^ R P1 S → P ^ Q
P2 ~S P2 P → S P2 S
P3 ~P → T P3 R → T P3 P ^ Q → T
----------------------------- -------------------------- ------------------------------------
P4 ~P TT(1,2) P4 P S(1) P4 P^Q PP(1,2)
P5 T PP(3,4) P5 R S(1) P5 T PP(3,4)
P6 S PP(2,4) P6 TvQ LA(5)
P7 T PP(3,5)
P8 S ^ T A(6,7)


h. Demostrar: K ^ J i. Demostrar: ~S j. Demostrar: ~S
J P → Q ~ (P ^ Q)
J → ~D Q → R ~Q → T
K v D S → ~R ~P → T
P S → ~T

h. Demostrar: K ^ J i. Demostrar: ~S j. Demostrar: ~S
P1 J P1 P → Q P1 ~ (P ^ Q)
P2 J → ~D P2 Q → R P2 ~Q → T
P3 K v D P3 S → ~R P3 ~P → T
-- ------------------------------ P4 P P4 S → ~T
P4 ~D PP(1,2) --------------------------- --------------------------------
P5 K TP(3,4) P5 P→R SH(1,2) P5 ~~(~P v ~Q) LM(1)
P6 K ^ J A(1,5) P6 R PP(4,5) P6 ~P v ~ Q DN(5)
P7 ~S TT(3,6) P7 T SD(2,3,4)
P8 ~S TT(4,7)

6.2 Simbolice las siguientes proposiciones y escriba la demostración indicando en cada caso la regla de inferencia lógica aplicada, hasta llegar a la conclusión.

a. Demostrar: y + 8 < 12 b. Demostrar: x < 5
x + 8 = 12 v x ≠ 4 x < y v x = y
x = 4 ^ y < x x = y → y ≠ 5
x + 8 = 12 ^ y < x → y + 8 < 12 x < y ^ y = 5 → x < 5
y = 5
c. Demostrar: x > 6 d. Demostrar: x = 0
x > 5 → x = 6 v x > 6 x ≠ 0 → y = 1
x ≠ 5 ^ x ≮ 5 → x > 5 x = y → y = w
x < 5 → x ≠ 3+4 y = w → y ≠ 1
x = 3+4 ^ x ≠ 6 x = y
x = 3+4 → x ≠ 5

a. Demostrar: y + 8 < 12 Demostrar S
P1 x + 8 = 12 v x ≠ 4 P1 P v ~Q
P2 x = 4 ^ y < x P2 Q ^ R
P3 x + 8 = 12 ^ y < x → y + 8 < 12 P3 P ^ R → S
------------------------------------------- -------------------------------
P4 x = 4 S(2) P4 Q S(2)
P5 y < x S(2) P5 R S(2)
P6 x + 8 = 12 TP(1,4) P6 P TP(1,4)
P7 x + 8 = 12 ^ y < x A(5,6) P7 P ^ R A(5,6)
P8 y + 8 < 12 PP(3,7) P8 S PP(3,7)

b. Demostrar: x < 5 Demostrar S
P1 x < y v x = y P1 P v Q
P2 x = y → y ≠ 5 P2 Q → ~ R
P3 x < y ^ y = 5 → x < 5 P3 P ^ R → S
P4 y = 5 P4 R
---------------------------------- --------------------------------
P5 x ≠ y TT(2,4) P5 ~Q TT(2,4)
P6 x < y TP(1,5) P6 P TP(1,5)
P7 x < y ^ y = 5 A(4,6) P7 P ^ R A(4,6)
P8 x<5 PP(3,7) P8 S PP(3,7)


c. Demostrar: x > 6 Demostrar: R
P1 x > 5 → x = 6 v x > 6 P1 P → Q v R
P2 x ≠ 5 ^ x ≮ 5 → x > 5 P2 ~S ^ ~T → P
P3 x < 5 → x ≠ 3+4 P3 T → ~V
P4 x = 3+4 ^ x ≠ 6 P4 V ^ ~Q
P5 x = 3+4 → x ≠ 5 P5 V → ~S
----------------------------------------------- ---------------------------------------------------
P6 x = 3+4 S(4) P6 V S(4)
P7 x ≠ 6 S(4) P7 ~Q S(4)
P8 x ≠ 5 PP(5,6) P8 ~S PP(5,6)
P9 x ≮ 5 TT(3,6) P9 ~T TT(3,6)
P10 x ≠ 5 ^ x ≮ 5 A(8,9) P10 ~S ^ ~T A(8,9)
P11 x > 5 PP(2,10) P11 P PP(2,10)
P12 x = 6 v x > 6 PP(1,11) P12 Q v R PP(1,11)
P13 x > 6 TP(7,12) P 13 R TP (7,12)


d. Demostrar: x = 0 Demostrar: P
P1 x ≠ 0 → y = 1 P1 ~P → Q
P2 x = y → y = w P2 R → S
P3 y = w → y ≠ 1 P3 S → ~Q
P4 x = y P4 R
-------------------------------- ----------------------------------
P5 x = y → y ≠ 1 SH(2,3) P5 R → ~Q SH(2,3)
P6 y ≠ 1 PP(4,5) P6 ~Q PP(4,5)
P7 x = 0 TT(1,6) P7 P TT(1,6)

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