LOGICA PROPOSICIONAL

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Aprender a identificar las clases de proposiciones que se puede encontrar en un enunciado.
•
Entender la aplicación y el efecto que tienen los términos de enlace en las proposiciones.
•
Analizar proposiciones en nuestro idioma para determinar su validez.
•
Analizar e interpretar proposiciones para simbolizarlas.
•
Comprender los principios de las operaciones de la lógica proposicional y sus aplicaciones en otras áreas de la carrera.
•
Analizar los enunciados para la elaboración de las tablas de verdad, teniendo en cuenta los términos de enlace.

LÓGICA PROPOSICIONAL
La lógica como principio fundamental de cualquier actuación humana que conlleve a realizar o resolver situaciones exitosamente, requiere de procesos no siempre intuitivos y tampoco aleatorios. La lógica en el ser humano se desarrolla por procesos de acumulación de conocimiento y experiencia.
La lógica proposicional es fundamental en el desarrollo de la lógica, y se basa en la evaluación de los enunciados o proposiciones para determinar su validez soportada en el razonamiento y el análisis de estos.
La lógica proposicional es parte de los aportes del conocimiento, hacia la conformación de la lógica en el hombre, desde los principios de la filosofía y las matemáticas, como ejes consistentes de la ciencia y el conocimiento a lo largo de la evolución del hombre como ser pensante y razonante.

TEMAS
1. Proposiciones
1.1 Simples
1.2 Compuestas
1.3 Términos de enlace
2. Simbolización de proposiciones.
3. Lógica Proposicional
3.1 Tablas de verdad
Conjunción
Disyunción

.
Implicación
Doble Implicación
Negación
4. Evaluación de proposiciones

1.1 INTRODUCCIÓN

1.1.1 Semiótica. La lógica trabaja con signos. En primer lugar, porque se ocupa del lenguaje, que es un sistema de signos. En segundo lugar porque crea sus propios signos. Por tanto, antes de entrar en el estudio de la lógica, vamos a ocuparnos de los signos. Su estudio corresponde a la semiótica.

Un signo es un objeto físico. Una bandera roja, un mapa, una nota musical, una palabra escrita sobre el papel son ejemplos de signos. Una primera característica que tienen los signos es que hacen referencia a otra cosa: una bandera roja hace referencia a un peligro, un mapa al lugar geográfico que representa, una nota musical a cierto sonido. Aquello a lo cual el signo hace referencia se denomina designado.
Una segunda característica que tienen los signos es que hacen referencia a algo para un cierto sujeto.
El signo hace referencia a su designado, siempre en relación con algún sujeto. A este sujeto se le denomina intérprete.

Si se llama S al signo, D al designado e I al intérprete; puede ahora definirse el signo de la siguiente manera: S es el signo de D para I, si I piensa en D, o es remitido a D cada vez que está en presencia de S. Al proceso mediante el cual un objeto funciona como signo, se le denomina Proceso semiótico.

1.1.2 Ramas de la semiótica. Considerando las relaciones que se dan entre los componentes del Proceso semiótico, se tiene que: por un lado está la relación que se da entre un signo y otros signos o la relación de un signo consigo mismo. A esta relación se le denomina dimensión sintáctica del proceso semiótico.

Otra relación es la que se da entre un signo y aquello a lo cual hace referencia, o sea su designado. A esta relación se le denomina dimensión semántica.

Por último, está la relación que se da entre un signo y los intérpretes de estos, llamada dimensión pragmática. El estudio de cada una de estas dimensiones da lugar a las distintas ramas de la semiótica: la sintaxis, la semántica y la pragmática.

Hay reglas que rigen las relaciones que se dan en cada una de las tres ramas. Las reglas sintácticas rigen las relaciones entre los signos. En el lenguaje, las reglas ortográficas son de este tipo. Las reglas semánticas rigen las relaciones entre los signos y los designados.

Toda estipulación acerca del significado de un objeto que funciona como signo es una regla semántica. Así mismo, las condiciones acerca de la verdad de un enunciado pertenecen a la semántica. La pragmática, analiza las reglas de uso de los signos, es decir, como los usan los intérpretes. Por ejemplo, cuando se dice: "Los Norteamericanos y los ingleses pronuncian el ingles de distinta manera", se hace un enunciado de la pragmática.

1.1.3 Lógica y Semiótica. A la lógica le interesan sobre todo, los aspectos sintácticos y semánticos de los signos. La sintaxis lógica es el estudio de como se combinan todos los signos en fórmulas y como a partir de ciertas sucesiones de signos se obtienen nuevas sucesiones de ellos.
Los aspectos semánticos son fundamentalmente dos. En primer lugar está la relación de los signos lógicos con aquello que designan. Por ejemplo: "las letras F, G, H designan propiedades". Cuando se establecen estas correspondencias, se dice que se ha dado una interpretación de los símbolos.

En segundo lugar está el problema de la verdad. Por un lado, determina las condiciones bajo las cuales ciertos enunciados resultarán verdaderos y otros falsos. Por otro lado se ocupa de cierto tipo de verdad, que se llama verdad lógica, propia de ciertos enunciados que tienen una estructura tal que resultan verdaderos en cualquier interpretación que se haga de ellos.
Por ejemplo el enunciado: "llueve o no llueve" es lógicamente verdadero.

1.1.4 El Lenguaje. Nos servimos del lenguaje en las más diversas formas: para hacer preguntas, dar ordenes, expresar deseos y también para hacer afirmaciones acerca de los objetos. Es decir, enunciar hechos o describir situaciones. De una pregunta no tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa. Ejemplo:

¿Quién desea ayudarme?
¿Qué hora es?
no son, en cuanto tal, ni verdaderas ni falsas. Tampoco lo son expresiones como:

¡Siéntese aquí!
¡Váyase!
En cambio, de las afirmaciones que hacemos acerca del mundo, si tiene sentido preguntarse por su verdad o falsedad. Este uso del lenguaje se denomina apofántico. La lógica actual, se ocupa fundamentalmente del discurso apofántico. Es decir, del discurso cuyos enunciados son, o bien verdaderos o bien falsos. Las siguientes expresiones:

Pedro fué al colegio
Peter went to the college
son distintas en cuanto que son diferentes trazos sobre el papel. Sin embargo, dicen lo mismo. Es decir, enuncian una misma proposición.

Se entiende por proposición el contenido transmitido en una oración apofántica. Se empleará el término proposición o enunciado indiferentemente.

1.1.5 Lenguaje Formalizado. El lenguaje natural, que hablamos a diario es un instrumento de comunicación muy complejo, con múltiples formas de combinación y diversos sentidos, que llega a constituir, incluso, un componente de nuestro comportamiento.

Los lenguajes artificiales son lenguajes de precisión, construidos por los científicos a fin de poder formular con rigor las relaciones entre los objetos estudiados por sus respectivas ciencias. Una tarea propia de la sintaxis es la construcción de cálculos o lenguajes formales, los cuales no son propiamente lenguajes, sino una estructura para la formación del lenguaje.
Un cálculo se compone de lo siguiente:
Un conjunto de elementos primitivos o símbolos elementales, los cuales constituyen los objetos del sistema.
Un conjunto de reglas de formación que establecen cuales son las combinaciones u ordenaciones de símbolos elementales que están bien formados. Tales ordenaciones son llamadas términos y fórmulas.
Un conjunto de reglas de transformación. Aplicándolas se puede transformar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación igualmente bien construida.

Un cálculo es una construcción autónoma, en el sentido que no hace referencia a nada que sea ajeno a él. Por tanto, no es un lenguaje en la medida en que no es medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico. Sus elementos carecen de significado. Se puede sin embargo, transformar un cálculo en un lenguaje que interprete sus símbolos, dando a los mismos un significado.
El siguiente es un ejemplo de un cálculo:
Símbolos primitivos:
Tipo A: �º,�¹,�²�
Tipo B: Oº, O¹,O²�
Tipo C: *
Reglas de formación:

RF1: Un símbolo tipo A es una expresión bien formada.
RF2: Un símbolo tipo B es una expresi&oqcute;n bien formada.
RF3: Una expresión formada por un símbolo tipo A seguido por el símbolo * y de un símbolo cualquiera tipo B es una expresión bien formada.
RF4: Una expresión formada por un símbolo tipo B seguido por el símbolo * y de un símbolo tipo A es una expresión bien formada.
RF5: Las únicas expresiones bien formadas son las autorizadas por RF1 a RF4.
Reglas de transformación:
RT1: Dada una expresión del tipo RF3 puede transformarse en otra expresión del tipo RF4, intercambiando el símbolo tipo A con el símbolo tipo B..
RT2: Dada una expresión del tipo RF4, puede transformarse en otra del tipo RF3, intercambiando el símbolo tipo B por el símbolo tipo A.
RT3: Dada una expresión del tipo RF3, puede transformarse en otra del mismo tipo, cambiando el símbolo tipo B por cualquier otro símbolo tipo B.
RT4: Dada una expresión del tipo RF4, puede transformarse en otra del mismo tipo, cambiando el símbolo tipo A por cualquier otro símbolo tipo A.
RT5: Las únicas transformaciones autorizadas son las presentadas por RT1 a RT4.
Dada la expresión bien formada:
�º * O¹
es posible transformarla en:
O¹ * �º
por medio de RT1. O en:
�º * Oº
por medio de RT3.
Dada la expresión bien formada:
�º *O¹
es posible transformarla en:
O² * �²
así:
�º * O¹
�º * O² RT3
O² * �º RT1
O² * �² RT4
Suponga ahora que en una sociedad determinada, los signos tipo A representan hombres y los tipo B representan mujeres, y el signo tipo C representa la relación "contraer matrimonio con". Entonces de acuerdo con esto:
�º * O¹
significa que el hombre representadopor �º está casado con la mujer representada por O¹.

En el supuesto de que: �º * O¹. ¿ Qué significa: �¹ * O¹ ?.

Lo que se ha hecho entonces, es formalizar las relaciones matrimoniales en una determinada sociedad, o sea, que se ha pasado de un simple cálculo a un lenguaje formalizado.
La lógica se entiende como un conjunto de cálculos a los cuales se les da una interpretación en el campo de investigación que constituye el objeto de la lógica (el razonamiento deductivo).

Se puede decir, que la lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientos formalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens. De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas son verdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.

En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Así, por ejemplo:
Si llueve, entonces no iré al teatro.
Si pago las deudas, entonces no tendré problemas.
Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma, sin embargo, es la misma. Su estructura se representa así:
Si......, entonces.....

Se puede llenar el espacio vacío con letras mayúsculas, que representarán el contenido de los enunciados quedando la expresión así:
Si P entonces Q

A la lógica le interesa únicamente la forma de los razonamientos. A esto se le denomina lógica formal o ciencia de las formas o esquemas válidos de razonamientos. La lógica ha de hacerse con un lenguaje en el cual la forma aparezca aislada, y en el que la estructura del razonamiento se muestre sola.

1.2 CALCULO PROPOSICIONAL

1.2.1 Simbolización de proposiciones. Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le dá un nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una proposición compuesta.

Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.
Ejemplo:

Hoy es jueves Hay clases de matemáticas
Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas tales como:

Hoy es jueves y hay clases de matemáticas. Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.
Si hoy es jueves entonces hay clases de matemáticas. Hoy no es jueves.

La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva.

Ejemplo:
Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.
y
Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letra latinas mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea:
P: Hoy es jueves. Q: Hay clase de matemáticas.

Luego la proposición:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.
se simboliza así:
P y Q
En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una "," en vez del término de enlace "y".
Ejemplo:
Fuí a la feria, pero no hice compra alguna. Inés está enferma, el martes iré a visitarla.
En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o".
Es tarde o está muy oscuro.
Otro giro de "o" es:
O es tarde o está muy oscuro.
En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es:
o
Cuando se usa el término de enlace: si,...entonces.... se obtiene la siguiente forma:
Si entonces
Si R entonces S

Ejemplo:
Si madrugo entonces llego temprano.
En este ejemplo puede suprimirse la palabra "entonces" y reemplazarse por una "," así:
Si madrugo, llego temprano.

Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposición compuesta.
Ejemplo:El día no está caluroso
Puede presentarse como:
No ocurre que el día esté caluroso.
y su forma es:
No
No P
También se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:
Para la "y" se utiliza el símbolo Ù. Para la "o" se utiliza el símbolo Ú. Para el "no" se utiliza el símbolo Ø. Para el "si,�entonces�" se utiliza el símbolo ®. Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo «.

Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y" es una conjunción. Si el enlace se hace mediante la conectiva "o" es una disyunción. Si se usa el término "no" es una negación. Cuando la conectiva es "si ...entonces... " es una proposición condicional, y si utiliza "si y sólo si" se tiene un bicondicional.

En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo a la colocación de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis.
Ejemplo:

O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, se refugiaron en las montañas. Este texto se simboliza de la siguiente forma:

P: Los soldados encontraron cerrado el paso.Q: Los soldados temieron un ataque enemigo.R: Los soldados se refugiaron en las montañas.
La proposición compuesta es:

P Ú (Q®R)
La cual tiene un sentido distinto de la proposición:
(P Ú Q)® R.

Cuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. La convención es:
"«" y "®" dominan a "Ù" y "Ú".

así: S « P Ú R significa S « (P Ú R)
P ® Q Ù r significa P ® (Q Ù R)
Con esta convención, no está claro lo que significa por ejemplo:
P Ù Q Ú R ó P «Q® R

Aquí, es necesario usar paréntesis para aclarar, en el primer caso, si se trata de:

(P Ù Q) Ú R ó P Ù (Q Ú R)
y en el segundo caso, diferenciar entre:

(P « Q) ® R y P « (Q ® R)
1.2.2 El cálculo proposicional como un sistema axiomático 1.2.2.1 Signos primitivos
Letras latinas minúsculas y mayúsculas.

Signos lógicos: "Ø" (negación), "Ú " (disyunción).

Signos de puntuación: "(",")" (paréntesis).

De las sucesiones de signos que es posible construir, hay específicamente unas que tienen sentido dentro de la teoría. Tales sucesiones se denominan, términos y fórmulas. Los términos se identifican con los objetos de la teoría y las fórmulas expresan relaciones entre los objetos. La especificación de los términos y las fórmulas, se hace a través de las siguientes reglas.

1.2.2.2 Reglas formativas RF1: Cualquier letra es un término. RF2: Si R es una fórmula, entonces ØR es una fórmula, la cual se denomina negación de R. RF3: Si P y Q son fórmulas, entonces P Ú Q es una fórmula la cual se denomina disyunción lógica de P y Q. Nota: En las RF2 y RF3, las letras mayúsculas se usan para designar fórmulas, no corresponden a signos del lenguaje.

1.2.2.3 Signos Definidos. Una vez establecidas las reglas de formación de fórmulas se pueden introducir abreviaciones con el fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de las definiciones matemáticas. Definición: Sean R y S fórmulas, entonces:

La fórmula Ø(ØR ÚØS) se denota abreviadamente como R ÙS y se llama conjunción Lógica de R y S, la cual se lee "R y S".

La fórmula Ø R ÚS se denota como R ® S y se llama condicional de R y S. La figura lógica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si..., entonces...". Para leer una proposición de la forma R ® S, se puede usar algunas de las siguientes expresiones:

Si R entonces S. R es suficiente para S. S es necesario para R. S siempre que R. R sólo si S.
A la fórmula R se le llama antecedente, y a la fórmula S consecuente. Cuando el condicional es verdadero se dice que existe implicación y en este caso se lee la expresión como:
R implica S
la cual se denota:

R ÞS
La fórmula (R ® S) Ù (S® R) se denota por R « S y se llama bicondicional de R y S. Esta expresión se puede leer como:

R si y sólo sí S R es suficiente y necesario para S
Cuando el bicondicional es verdadero, se dice que hay equivalencia. En este caso se lee:
R equivale a S
y se denota:

R Û s
Nota: Los criterios para decidir sobre la verdad del condicional y el bicondicional se verán más adelante.

1.2.2.4 Razonamiento Lógico. Deducción. La deducción lógico matemática consiste en lo siguiente: A partir de una serie de fórmulas admitidas como ciertas, y denominadas axiomas, hipótesis o premisas, se obtiene otra fórmula llamada conclusión o tesis, mediante la aplicación de reglas lógicas precisas. El proceso mediante el cual se pasa de las hipótesis (premisas) a la tesis, recibe el nombre de demostración. Un teorema es una fórmula que figura dentro de una demostración. Es decir, un teorema es una fórmula que es o bien un axioma, o bien, una consecuencia de éste. Una fórmula se dice que es falsa si su negación es un teorema. Una teoría es contradictoria cuando se tiene una fórmula R que es verdadera y falsa a la vez. Esto es: R y Ø R son teoremas de la teoría. Para demostrar que una fórmula C es un teorema se desarrolla el siguiente proceso:
Se enuncian los axiomas de la teoría. Para la lógica proposicional se establecen cuatro axiomas (A) que son :

A1. Axioma de idempotencia. Sea P una fórmula, entonces, la fórmula:
P Ú P Þ P
es un axioma A2. Axioma de adjunción. Sean P Y Q fórmulas, entonces, la fórmula:
P Þ P Ú Q
es un axioma. A3. Axioma de conmutatividad. Sean P, Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
P Ú Q Þ Q Ú P

es un axioma.
A4. Axioma de adición. Sean P , Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
(P Þ Q) Þ (R Ú P Þ R Ú Q)

es un axioma.
Se fijan las "reglas lógicas" que permiten deducir dicha fórmula a partir de los axiomas. Estas reglas son llamadas reglas de validez (RV) y son las siguientes:

RV1: Dadas las fórmulas R y S; si R Þ S y R son verdaderas, entecos S es verdadera.

RV2: Si R y S son fórmulas equivalentes, se puede sustituirla una por la otra en cualquier parte del proceso demostrativo.

Se hace una demostración de la fórmula C, que consiste en obtener a C como última fórmula de la lista, por aplicación reiterada de RV1 y RV2.

Ejercicios 1.2

Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones simples sustituidas por cada letra mayúscula.
1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano. 2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original. 3. O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde. 4. Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad. 5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero. 6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo. 7. A la vez, si este cuadro es negro, entonces, aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo. 8. Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.

1.3 TABLAS DE VERDAD

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos,Ø, Ù, Ú, ®, «,como: no, o, y, si�entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.
P
Ø P
1
0
0
1

Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.
P
Q
P Ú Q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.
P
Q
P Ù Q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.
P
Q
P® Q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.
P
Q
P« Q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.

Ejercicios 1.3

1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?
P Ù Q R ® P S ®Ø P
R Ú P P ® Q R® (S® P)
R Ù P P ® P Ú S P Ú S ® (Q Ù Ø P)
S ÚØ P Ø P ® Q Ù R Q Ù Ø P ® R Ù Q

2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?
Si P es falsa.
Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera.

3. Sean P, Q y R fórmulas , entonces:
Si R Ú P ® Q Ù P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q?.
Si Q Þ Q Ù P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q?.
Si R Ù P Þ Q Ù P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
Si (Q Ú R) ® (P Ù Q) Ú R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
Si (P Þ Q) Þ ( R Ú P Þ R Ú Q) es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?

4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son tautologías:
P Ù Q ® P Ù R (P ® Q ) ® ( Ø Q ® P )
P ® P Ù Q (P « Q) Ù (P Ù Ø Q)
P Ù Ø (Q Ú P) P Ù Ø ((P Ú Q) Ú R)
(P ® (Q Ú Ø P)) ® Ø Q P Ú (Ø P Ú R)