jueves, 20 de noviembre de 2008

INFERENCIA LOGICA

OBJETIVO GENERAL
Aprender y diferenciar las reglas de inferencia lógica, para poderlas aplicar en la solución de problemas propuestos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Entender las reglas de la inferencia lógica

Comprender la aplicación de las reglas de inferencia lógica para la demostración de soluciones.

Aplicar las leyes de la inferencia lógica para relacionarlas con casos de la vida real.

Analizar las premisas que integran un problema, para diseñar la estrategia de solución, aplicando las reglas de inferencia para llegar a la demostración solicitada.

Aplicar las proposiciones en el trabajo de las reglas de inferencia lógica.

INFERENCIA LÓGICA
Teniendo en cuenta que se ha trabajado el tema de Proposiciones, simbolización y lógica proposicional, el tema de la Inferencia Lógica se basa en la aplicación de un conjunto de reglas para el tratamiento de las proposiciones, que faciliten deducir conclusiones a partir de las premisas dadas.
1. Reglas de inferencia y demostración
1.1 Modus ponendo ponens – Afirmando afirma
1.2 Modus Tollendo Tollens – Negando niega
1.3
Adjunción y simplificación
1.4
Modus Tollendo ponens

2. Deducción proposicional
3. Otras reglas de inferencia
3.1
Ley de adición
3.2
Ley del silogismo hipotético
3.3
Ley del silogismo disyuntivo
3.4
Ley de la simplificación disyuntiva
3.5
Leyes conmutativas
3.6
Leyes de Morgan

4. Proposiciones bicondicionales

1. Reglas de inferencia y demostración
El éxito para abordar adecuadamente las premisas a problemas de inferencia, consiste en realizar un análisis que permita identificar una estrategia y saber cuales reglas aplicar.
Para aplicar las reglas de inferencia:

1. Analice el problema a resolver, teniendo en cuenta que debe demostrar y las premisas proporcionadas con el problema. Debe crear o ingeniar una

estrategia de forma que le permita llegar al resultado (o demostración) que le indica el problema.
2. En las demostraciones se tienen que utilizar todas las premisas proporcionadas con el problema (todas las premisas participan).

3. Para realizar una demostración se puede utilizar una o varias reglas de inferencia. También se puede repetir la utilización de una o varias de ellas.

4. Antes identifique que tipos de proposición tiene en las premisas del problema.
5. Es importante tener claridad de a que tipo de proposición aplica cada regla, para así comprender como y en que momento las puede utilizar.

Elabore un cuadro resumen en el que agrupe las reglas de inferencia, teniendo en cuenta las categorías por tipo de proposición a la que aplica, con la explicación de su aplicación.
1.1 Modus ponendo ponens – Afirmando afirma
Si se afirma el antecedente de una premisa condicional, se afirma el consecuente de esta. Su abreviatura es PP.

Ej. Juan esta jugando un partido de fútbol entonces el esta en el estadio.
Premisa 1. Juan esta jugando un partido de fútbol entonces el esta en el estadio
Premisa 2. Juan esta jugando un partido de fútbol
Conclusión El esta en el estadio

Si simbolizamos: T = Juan esta jugando un partido de fútbol
K = El esta en el estadio
La representación para llegar a la conclusión es:
Premisa 1. T → K P1 T → K
Premisa 2. T P2 T
--------------- -----------------
Conclusión K P3 K PP(1,2)
Explicación:

La anterior representación al lado derecho, es la forma correcta de escribir una demostración de inferencia lógica, significa: En la primera línea hay una premisa condicional; en la segunda premisa esta la premisa que es antecedente en la premisa primera; por ello se obtiene como conclusión K que es el consecuente y se indica que se llega aplicando pp (ponendo ponens) entre las permisas 1 y 2.
Ahora observe el siguiente caso: Si la Chechi Baena no entrena entonces no será campeona mundial de patinaje.
Premisa 1. Si la Chechi Baena no entrena con esmero entonces no será campeona mundial de patinaje
Premisa 2. La Chechi Baena no entrena con esmero
Conclusión No será campeona mundial de patinaje.
Si simbolizamos: U = La Chechi Baena entrena con esmero
R = será campeona mundial de patinaje
La representación para llegar a la conclusión es:
Premisa 1. ~U → ~R P1 ~U → ~R
Premisa 2. ~U P2 ~U
------------- ----------------
Conclusión ~R P3 ~R PP(1,2)

Explicación:

La anterior representación al lado derecho, es la forma correcta de escribir una demostración de inferencia lógica, significa: En la primera línea hay una premisa condicional con antecedente y consecuente negado; en la segunda premisa esta la premisa que es antecedente en la premisa primera afirmado; por ello se obtiene como conclusión ~R que es el consecuente afirmado y se indica que llega aplicando pp (ponendo ponens) entre las permisas 1 y 2.

Haré claridad en la premisa 2 cuando se dice que ~U, es el antecedente afirmado, aunque tiene el termino de enlace que lo niega se esta teniendo en cuenta igual como esta en la premisa 1.

Tambien se dice que se obtiene como conclusión ~R, como el consecuente afirmado de la premisa 1, porque se utiliza igual sin hacerle cambios, esto es sigue siendo ~R (R negado)
Observe el siguiente ejercicio:
a.
Demuestre : ~T

P1 R → ~T
P2 S → R
P3 S
Siguiendo las recomendaciones en 1 Reglas de inferencia y Demostración, se procede de la siguiente forma:
Análisis: Hay tres premisas, dos de ellas son premisas condicionales y una es el antecedente de una de ellas.
Estrategia: Como piden demostrar ~T que es donde se debe llegar, y se tiene un premisa simple que es parte de la premisa 2, se debe iniciar la demostración entre las premisas 2 y3, luego con la conclusión obtenida entre 2y 3 se trabaja con la premisa 1, para llegar a la demostración pedida.
Demostración:
a.
Demuestre : ~T

P1 R → ~T
P2 S → R
P3 S
-----------------------
P4 R PP(2,3) S es el antecedente afirmado de P2
P5 ~T PP(1,4) ~T es el antecedente afirmado de P1
De la forma como se explica este ejercicios es una manera sencilla y practica que recomiendo para abordar la solución de problemas de inferencia lógica.
1.2 Modus Tolendo tolens – Negando Niega
Si se niega el consecuente de una proposición condicional, se niega el antecedente de este. Su abreviatura es

TT (Tolendo Tolens).
Premisa 1. Si La planta genera su propia energía entonces es autónoma
Premisa 2. No es autónoma
Conclusión La planta no genera su propia energía.
Simbolizando el anterior ejemplo:
E = La planta genera su propia energía
W = es autónoma
Autor: Luis Heladio Garzón Rodríguez.
P1 E → W
P2 ~ W
-----------------------
Conclusión P3 ~ E TT(1,2)

Explicación:

La anterior representación, es la forma correcta de escribir una demostración de inferencia lógica, significa: En la primera línea hay una premisa condicional con antecedente y consecuente afirmados; en la segunda premisa esta la premisa que es consecuente en la premisa primera, pero negada; por ello se obtiene como conclusión ~E que es el antecedente negado y se indica que se llega aplicando tt (tolendo tolens) entre las permisas 1 y 2.

Considere el siguiente ejemplo en el que se aplica las tres reglas de inferencia para Demostrar ~~ Z
P1 C → D
P2 ~D
P3 ~C → Z

Explicación:
Con este ejercicio se explica que en un problema de demostración en inferencia lógica, pueden participar en la solución varias reglas de inferencia. De acuerdo a lo anterior:
Análisis: A partir de las 3 premisas dadas y revisando la premisa a la que hay que llegar, la segunda premisa esta contenida en la premisa uno. Entonces se inicia la demostración por ahí.

Estrategia: Revisando las premisas, la forma de iniciar la demostración es entre las premisas 1 y 2, como la premisa 2 niega el consecuente de la 1, se aplica TT y con la premisa obtenida se aplica para obtener Z por la aplicación de PP.
Demostración:
Demostrar ~~ Z
P1 C → D
P2 ~D
P3 ~C → Z
----------------------------
P4 ~C TT 1,2 ~D niega el consecuente en P1 y se obtiene ~C
P5 Z PP 3,4 ~C es el antecedente de P3 y se obtiene Z por PP
P6 ~~Z DN 5 Doble Negación
1.3 Modus Tolendo Ponens – Negando afirma
Si se niega uno de los dos términos de una disyunción, se afirma el otro termino. Su abreviatura es TP (Tolendo Ponens).
P1 T v R P1 T v R
P2 ~T P2 ~R
---------------- ----------------
Conclusión P3 R TP(1,2) Conclusión P3 T TP(1,2)
En los ejemplos anteriores se puede observar como se enuncia que en TP si se niega uno de los términos, se afirma al otro.
1.4 Ley de Simplificación / Ley de Adjunción
.
Si se requiere separar uno de los dos términos de una conjunción, se puede aplicar la ley de simplificación. Su abreviatura es S (Simplificación)
Si se requiere unir dos proposiciones simples en una conjunción, se puede aplicar la ley de adjunción. Su abreviatura es A (Adjunción)

1.5 Ley de la Adición

Se puede adicionar proposiciones simples con el termino de enlace disyunción, aplicando la ley de la adición. Su abreviatura es LA (Ley de la Adición)
Deducciones o deducción proposicional
Son la combinación de reglas de inferencia lógica que se puede aplicar a un conjunto de premisas para llegar a la demostración y obtención de la conclusión.
Inferencia Lógica

Primero presentamos los tipos de inferencia, la inferencia válida en computación y matemáticas y al final una serie de reglas que se utilizan para la inferencia deductiva.
La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.

Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.
Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.
Inductiva (de lo particular a lo general)

Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluímos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras, y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sóla mentira.
Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.
Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluímos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus Tollendo Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más
delante en

INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.

Transductiva (de particular a particular o de general a general) con el mismo caso del maestro que llega tarde drante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar.

Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva es semejante a la deductuva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.
Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qué podemos concluir?
Si llueve hay nubes. Hay nubes.- - - - - - - - - - - - - Si haces la tarea te llevo al cine. Lo vimos en el cine.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Si se hace el experimento en un salón de clases o con un grupo de personas, en el primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el segundo caso casi todos coinciden en que sí hay conclusión y que se está seguro que hizo la tarea.
Analicemos los casos simbólicamente, en el primero:
p: llueve q: hay nubes con símbolos queda:
p → q q - - - - - -
En el segundo caso
p: hacer la tarea q: llevarlo al cine - - - - - - - - - -
con símbolos:
p → q q - - - - - -
Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que en los dos casos se puede sacar conclusión válida o en ninguno. Pero no es posible que en uno sí y en el otro no.
La respuesta correcta es que en ningún caso se puede obtener conclusión válida. A continuación se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una condicional simple, de los cuales dos tienen conclusión válida y dos no.

INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL

A → C A → C A ¬A --------- --------- C (MPP) No hay A → C A → C C ¬C --------- --------- No hay ¬A (MTT)
Notamos que tanto el primero, como el último son argumentos válidos; mientras que en los otros dos no hay concluisón.

El primero se llama MPP: Modus Ponendo Ponens y el último MTT: Modus Tollen Tollens, están en latín y en español MPP podría ser Ley de Afirmar Afirmando o de Poner Poniendo y MTT quedaría Ley de Negar Negando o Quitar Quitando. Sin embargo es costumbre nombrarlos en latín.

Todo esto se puede ilustrar con una pequeña máquina de inferencia.En general podemos decir que estas dos reglas de inferencia son las escenciales, y cualquier demostración de podría realizar con el uso de MPP y de MTT, pero es muy conveniente tener algunas otras reglas de inferencia, sobretodo porque en muchos resulta complicado cambiarlo a la forma MPP o MTT, por lo que tener una lista de raglas de inferencia resulta ser muy útil para realizar demostraciones.

Reglas de Inferencia Deductiva

MPP Modus ponendo ponens A → B A - - - - - B
MTTModus tollendo tollens A → B ¬B - - - - - ¬A
SD Silogismo Disyuntivo A ∨ B ¬A - - - - - ¬B
SH Silogismo hipotético A → B B → C - - - - - A → C
LS Ley de simplificación A ∧ B - - - - - A
LA Ley de adición A - - - - - A ∨ B
CONTRAPOSITIVA A → B - - - - - ¬B → ¬A
La comprobación de las reglas anteriores es directa y basta hacer una fórmula con la conjunción de las premisas condicional la conclusión y probar que es una tautología, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los vaores verdaderos.
Para una mayor comprensión mediante algunos otros ejercicios referirse a la sección del curso de licenciatura que se encuentra en el siguiente enlace:

Los Diez Mandamientos: ¿principios, reglas o criterios?



MODUS PONENDO PONENS (PP)

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
p “Llueve” (premisa)
__________________________________________________

q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)



El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).





MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)

‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.


p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”
¬q “Las calles no se mojan”
__________________________________________________

¬p “Luego, no llueve”


Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.



DOBLE NEGACIÓN (DN)

¬¬p ↔ p

El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:


¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante”
_____________________________________________________

p “Ana es una estudiante”


La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.



ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción).

p “Juan es cocinero”

q “Pedro es policía”
___________________________________

p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía”


Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.


p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera”

____________________________________________

p “Tengo una manzana”

q “Tengo una pera”




MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.


p V q “He ido al cine o me he ido de compras”

¬q “No he ido de compras”
__________________________________________________________

p “Por tanto, he ido al cine”




LEY DE LA ADICIÓN (LA)

Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.


a “He comprado manzanas”
______________________________________________________________

a V b “He comprado manzanas o he comprado peras”




SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:


p → q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”

q → r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”
______________________________________________________________________

p → r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”





SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.


p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”

r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

p V r “Llueve o la tierra tiembla”
____________________________________________________

q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”




SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)

Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.


p V q “Helado de fresa o helado de vainilla”

p → r “Si tomas helado de fresa, entonces repites”

q → r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”

____________________________________________________

r Luego, repites






LEY CONMUTATIVA

Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,


p Λ q ↔ q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»”

p V q ↔ q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»





LEYES DE MORGAN (DM)

Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:

p Λ q p V q
___________ ____________

¬(¬p V ¬q) ¬(¬p Λ ¬q)